Question

一個底面為正三角形且側棱垂直于底面的三棱柱內接于半徑為

3

的球，則該棱柱體積的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：畫出圖形，設底面正三角形的邊長為a，然后根據勾股定理求得棱柱的高的一半，進而得到用a表示的三棱柱的體積，再利用導數即可求得答案．

解答：解：如圖所示，設球心為O，正三棱柱的上下底面的中心分別為O₁，O₂，底面正三角形的邊長為a，
則AO₂=

2

3

×

3

2

a=

3 a

3

．
由已知得O₁O₂⊥底面，
在Rt△OAO₂中，∠AO₂O=90°，由勾股定理得OO₂=

( 3 )2-( 3 a 3 )2

=

3- 1 3 a2

=

27-3a2

3

，
∴V_三棱柱=

3

4

a²×2×

27-3a2

3

=

9a4-a6

2

，
令f（a）=9a⁴-a⁶（0＜a＜2

3

），
則f′（a）=36a³-6a⁵=-6a³（a²-6），令f′（a）=0，
又∵a＞0，解得a=

6

．
∵在區間（0，

6

）上，f′（a）＞0；在區間（

6

，2

3

）上，f′（a）＜0．
∴函數f（a）在區間（0，

6

）上單調遞增；在區間（

6

，2

3

）上單調遞減．
∴函數f（a）在a=

6

時取得極大值．
∵函數f（a）在開區間（0，2

3

）有唯一的極值點，因此a=

6

也是最大值點．
∴（V_三棱柱）_max=

6

2

×

9-6

=3

3

．
故選C．

點評：本題考查了球的內接正三棱柱的最大體積問題，求出體積的表達式，然后利用導數求最值是解題的通法，考查計算能力．