Question

已知函數在區間[m，n]上為增函數，且f（m）f（n）=-4．
（1）當a=3時，求m，n的值；
（2）當f（n）-f（m）最小時，
①求a的值；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）圖象上的兩點，且存在實數x使得，證明：x₁＜x＜x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數在區間[m，n]上為增函數，先用導數求得當a=3時的所有單調區間，則有[m，n]為函數f（x）單調區間的子集．
（2）①由，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立求解．
②先分別表示出和，再由，得到，，再用作差法比較與的大小．
解答：解：．（2分）
（1）當a=3時，由，
得或x=2，
所以f（x）在上為增函數，在，（2，+∞）上為減函數，（4分）
由題意知，且．
因為，所以，
可知．（7分）
（2）①因為，
當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立．（8分）
由，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0；（9分）
由，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值時，a=0，n=1．（11分）
②此時，，，
由知，，（12分）
欲證x₁＜x＜x₂，先比較與的大小．

=
=
=
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即，（13分）
另一方面，，
因為0＜x₁²x²＜1，所以3+x₁²+x²-x₁²x²＞0，從而x₁²-x²＜0，即x₁＜|x|（14分）
同理可證x＜x₂，因此x₁＜|x|＜x₂．（15分）
點評：本題主要考查導數在研究單調性，求最值，比較大小中的應用．