Question

【題目】已知函數．

（1）求的單調遞增區間；

（2）求證：曲線在區間上有且只有一條斜率為2的切線．

Answer 1

【答案】（1），（2）見解析

【解析】

（1）根據函數解析式，求得導函數，令即可求得的單調遞增區間；

（2）曲線在區間上有且只有一條斜率為2的切線，等價于在區間上方程有唯一解，構造函數，求得導函數，并判斷的符號，確定的單調性與極值，從而判斷出在上存在唯一一個零點，即可證明結論.

（1）函數,，

則，

令得，，

∴單調遞增區間為，

（2）原命題等價于：在區間上，方程有唯一解，

設，

則

此時，，，變化情況如下：

		0
		極大值

此時，在上單調遞增，且，，

在上單調遞減，且，

∴在上存在唯一一個根，

在上存在唯一一個零點，

∴曲線在區間上有且僅有一條斜率為2的切線.