Question

設（ax+2b）⁹與（bx+2a）⁸展開式中x³項的系數相等（a＞0，b≠0）
（1）求的取值范圍；
（2）當展開式中二項式系數最大的項．

Answer 1

解：（ax+2b）⁹展開式中x³項的系數為：．
（bx+2a）⁸展開式中x³項的系數為：．
則：84×2⁴a³b⁶=56×2⁵a⁵b³，即．
（1）==≥2，當且僅當a=3時取等號．
∴的取值范圍[2，+∞）．
（2）時，b=1，（bx+2a）⁸展開式中二項式系數最大的項是第五項，
即：T₅==70×2⁴a⁴b⁴x⁴=10080x⁴．
分析：利用（ax+2b）⁹與（bx+2a）⁸展開式中x³項的系數相等，求出b與a的關系，
（1）通過基本不等式求出表達式的范圍即可．
（2）通過a求出b，利用二項展開式的通項公式求出展開式最大項即可．
點評：本題考查二項式定理系數的形狀，二項式定理的應用，考查計算能力．