Question

設（ax+2b）⁹與（bx+2a）⁸展開式中x³項的系數相等（a＞0，b≠0）
（1）求

b3+3

a

的取值范圍；
（2）當a=

3

時，求(bx+2a)8展開式中二項式系數最大的項．

Answer 1

分析：利用（ax+2b）⁹與（bx+2a）⁸展開式中x³項的系數相等，求出b與a的關系，
（1）通過基本不等式求出表達式的范圍即可．
（2）通過a求出b，利用二項展開式的通項公式求出展開式最大項即可．

解答：解：（ax+2b）⁹展開式中x³項的系數為：

C

6 9

a3•(2b)6=84×24a3b6．
（bx+2a）⁸展開式中x³項的系數為：

C

5 8

b3(2a)5=56×25a5b3．
則：84×2⁴a³b⁶=56×2⁵a⁵b³，即b3=

1

3

a2．
（1）

b3+3

a

=

1 3 a2+3

a

=

a

3

+

3

a

≥2，當且僅當a=3時取等號．
∴

b3+3

a

的取值范圍[2，+∞）．
（2）a=

3

時，b=1，（bx+2a）⁸展開式中二項式系數最大的項是第五項，
即：T₅=

C

4 8

(bx)4(2a)4=70×2⁴a⁴b⁴x⁴=10080x⁴．

點評：本題考查二項式定理系數的形狀，二項式定理的應用，考查計算能力．