Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為它的左、右焦點(diǎn)，直線x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓C上存在點(diǎn)M使

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）若PQ為過橢圓焦點(diǎn)F₂的弦，且內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

解：（1）據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為 ，

∵直線x=4    為橢圓C的準(zhǔn)線，  ∴

又，  ∴M為橢圓C短軸上的頂點(diǎn)，

∵，

∴，△F₁MF₂為等邊三角形

∴

且，∴橢圓C的方程為

（2）顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，即直線PQ分斜率不存在時(shí)，

∴

當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，

則直線PQ的方程為，代入橢圓C的方程，消去x的并整理得：

    則

∴

設(shè)4k²+3=t，則t>3，此時(shí)

∵

綜上，直線PQ與x軸垂直時(shí)，△PF₁Q的面積最大，且最大面積為3.

設(shè)△PF₁Q內(nèi)切圓半徑為r，則

∴時(shí)，△PF₁Q內(nèi)切圓面積最大，此時(shí)不存在，

直線PQ與x軸垂直，∴