Question

設函數f（x）=3sinx+2cosx+1．若實數a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1對任意實數x恒成立，則

bcosc

a

的值為（　　）

• A．-1
• B．

  1

  2

• C．1
• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：將f（x）解析式前兩項變形利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，表示出f（x）與f（x-c），代入已知等式中變形后根據x為R時恒成立列出關系式，聯立即可求出所求式子的值．

解答：解：由題設可得f（x）=

13

sin（x+θ）+1，f（x-c）=

13

sin（x+θ-c）+1，其中cosθ=

3

13

，sinθ=

2

13

（0＜θ＜

π

2

），
∴af（x）+bf（x-c）=1可化成

13

asin（x+θ）+

13

bsin（x+θ-c）+a+b=1，
即

13

（a+bcosc）sin（x+θ）-

13

bsinccos（x+θ）+（a+b-1）=0，
由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有

a+bcosc=0① bsinc=0② a+b-1=0③

，
若b=0，則式（1）與式（3）矛盾；
故此b≠0，由（2）式得到：sinc=0，
當cosc=1時，有矛盾，故cosc=-1，
由①③知a=b=

1

2

，
則

bcosc

a

=-1．
故選A

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及函數恒成立問題，熟練掌握公式是解本題的關鍵．