Question

21.已知橢圓+y²=1的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC∥x軸.求證直線AC經過線段EF的中點.

Answer 1

21.本小題主要考查橢圓和直線的基礎知識以及綜合運用知識解決問題的能力.

證明一：依題設，得橢圓的半焦距c=1，右焦點為F(1，0)，右準線方程為x=2，點E的坐標為(2,0)，EF的中點為N(，0).

　若AB垂直于x軸，則A(1，y₁)，B(1，－y₁)，C(2，－y₁)，

　所以AC中點為N(，0)，即AC過EF中點N.

若AB不垂直于x軸，由直線AB過點F，且由BC∥x軸知點B不在x軸上，故直線AB的方程為

y=k(x－1)，k≠0.記A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，則C(2，y₂)且x₁，x₂滿足二次方程＋k²(x－1)²=1,

　即                　(1+2k²)x²－4k²x+2(k²－1)=0,

　

所以              x₁+ x₂=, x₁x₂=.

　

又x₁²=2－2y₁²<2，得x₁－≠0，故直線AN，CN的斜率分別為

k₁==,

k₂==2k(x₂－1).

　所以　k₁－k₂＝2k·

　因為　(x₁－1)－(x₂－1)(2x₁－3)

              ＝3(x₁+x₂)－2x₁x₂－4

              ＝［12k²－4(k²－1)－4(1＋2k²)］

              ＝0，

　所以k₁－k₂=0，即k₁＝k₂，故A、C、N三點共線.

　所以，直線AC經過線段EF的中點N.

　

證明二：如圖，記直線AC與x軸的交點為N，過A作AD⊥l，D是垂足.因為F是橢圓的右焦點，l是右準線，

BC∥x軸，即BC⊥l，根據橢圓幾何性質，得：＝＝e　(e是橢圓的離心率)，

　因為AD∥FE∥BC，

　所以＝＝，＝，

　即得|EN|== e·==|FN|，

　所以N為EF的中點，即直線AC經過線段EF的中點N.