Question

已知橢圓+y²=1的左焦點為F，O為坐標原點.

(Ⅰ)求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；

(Ⅱ)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.

Answer 1

分析：(Ⅰ)先由圓過點O，F得出圓心在x=-上，再由圓與l相切得出半徑r，再進一步求出圓心坐標.

(Ⅱ)G點的橫坐標的取值范圍取決于直線的斜率的取值，故可先建立x_G關于直線的斜率K的函數，再求函數的值域.

解：(Ⅰ)∵a²=2,b²=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2

∵圓過O，F，∴圓心M在直線x=-上，

    設M(-,t),則圓半徑r=|(-)-(-2)|=.

    由|OM|=r得=,得t=±.

∴所求圓的方程為(x+)²+(y±)²=.

(Ⅱ)設直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),

    代入+y²=1,得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0.

∵直線過橢圓的左焦點F，∴方程有兩個不等實根，

    記A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中點N(x₀,y₀),

    則x₁+x₂=,x₀=(x₁+x₂)=-,y₀=k(x₀+1)=,

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y₀=-(x-x₀),令y=0得

x_G=x₀+ky₀=-=-+.

∵k≠0,∴-＜x＜0.

∴點G橫坐標的取值范圍為(-,0).