Question

已知一臺機器在一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作．一周五天工作日里無故障可獲利10萬元，發生一次故障可獲利5萬元，發生兩次故障沒有利潤，發生三次或三次以上故障就要虧損2萬元．這臺機器在一周內平均獲利多少？

Answer 1

解：以ξ表示一周內機器發生故障的次數，則ξ～B（5，），
∴P（ξ=k）=C₅^k×0.2^k×0.8^5-k（k=0、1、…、5），
以η表示一周內獲得的利潤，則η=g（ξ），
而g（0）=10，g（1）=5，g（2）=0，g（ξ≥3）=-2
∴P（η=10）=P（ξ=0）=0.8⁵=0.32828，
P（η=5）=P（ξ=1）=0.4096，
P（η=0）=P（ξ=2）=0.2048，
P（η=-2）=P（ξ≥3）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=2）=0.05732，
∴Eη=10×0.328+5×0.410-2×0.057=5.20896萬元為所求
分析：先由概率公式求出一周內機器發生故障的次數ξ的概率，由題意知ξ=0，1，2，3次及以上分別對應的利潤是10，5，0，-2萬元，由求期望的公式求出即可
點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，求解的關鍵是計算出每一種利潤所對應的概率，熟練掌握求期望的公式也很關鍵．