Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．

(1)求證：BD⊥FG；

(2)確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由．

(3)當二面角B－PC－D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：(Ⅰ)面ABCD，四邊形ABCD是正方形， 　　其對角線BD，AC交于點E，∴PA⊥BD，AC⊥BD 　　∴BD⊥平面APC，平面PAC， 　　∴BD⊥FG　　3分 　　(Ⅱ)當G為EC中點，即時，FG∥平面PBD　　4分 　　理由如下： 　　連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE， 　　而FG平面PBD，PB平面PBD， 　　故FG∥平面PBD　　7分 　　(Ⅲ)作BH⊥PC于H，連結DH， 　　∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形， 　　∴PB＝PD， 　　又∵BC＝DC，PC＝PC， 　　 　　方法二解：以A為原點，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，設正方形ABCD的邊長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)(a＞0)， 　　(Ⅰ) 　　 　　　　3分 　　(Ⅱ)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP， 　　而， 　　由可得，解得 　　　　6分 　　 　　故當時，FG∥平面PBD　　7分 　　設平面PBC的一個法向量為 　　則，而 　　 　　∴PC與底面ABCD所成角的正切值是　　12分