Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．
（Ⅰ）求證：BD⊥FG；
（Ⅱ）確定點G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證：BD⊥FG，只需證明BD⊥平面PAC，即可；
（Ⅱ）當G為EC中點，即AG=

3

4

AC時，要證明FG∥平面PBD，FG∥PE即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG（7分）

解（Ⅱ）：當G為EC中點，即AG=

3

4

AC時，
FG∥平面PBD，（9分）
理由如下：
連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG∥PE，
而FG?平面PBD，PE∥平面PBD，
故FG∥平面PBD．（13分）

點評：本題考查直線與平面平行，直線與直線垂直，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題