Question

已知關(guān)于x的方程（1-a）x²+（a+2）x-4=0，a∈R，求：
（Ⅰ）方程有兩個正根的充要條件
（Ⅱ）方程至少有一個正根的充要條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程有兩個正根，首先要保證方程有兩個根，即該方程為二次方程（二次項系數(shù)不為零），且△≥0，再由根與系數(shù)的關(guān)系，可得兩根之和、兩根之積均為正，構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到答案．（II）方程至少有一個正根，包含這樣幾種情況：①方程有兩個正根②方程有一個非正根和一正根③方程為一次方程，只有一正根．分類討論后綜合即可得到答案．
解答：解：首先方程有二實根的充要條件是：
解之得：a≥10或a≤2且a≠1
設(shè)方程的二實根為x₁，x₂，則
（Ⅰ）x₁，x₂均為正根
解之得：1＜a≤2或a≥10
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，當a≥10或1＜a≤2時，方程有兩個正根
②方程有一正根，一負根解得：a＜1
③當
綜合①②③得，方程至少有一個正根的充要條件是q≤2或q≥10
點評：遇到類二次方程/函數(shù)/不等式（即解析式的二次項系數(shù)含有參數(shù)）時，一般要進行分類討論，分類的情況一般有：①先討論二次項系數(shù)a是否為0，以確定次數(shù)②再討論二次項系數(shù)a是否大于0，以確定對應(yīng)函數(shù)的開口方向，③再討論△與0的關(guān)系，以確定對應(yīng)方程根的個數(shù)．