Question

一個三棱錐的三視圖及直觀圖如圖所示，E，F(xiàn)，G分別是A₁B，B₁C₁，AA₁的中點(diǎn)，AA₁⊥底面ABC
（1）求四棱錐B-ACC₁A₁的體積；
（2）求證：B₁C⊥平面A₁BC₁；
（3）求證：EF∥平面ACC₁A₁
．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知中的三視圖，我們易得到這是一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，且底面直角邊和棱柱高均為a，代入棱柱體積公式，即可得到答案．
（2）連AB₁，AC₁，由矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理，易得MN∥AC₁，再由線面平行的判定定理，即可得到MN∥平面AA₁C₁C；

解答： 解：（1）如圖可知，在這個多面體的直觀圖中，
AA₁⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=CC₁=a，
所以V=

1

2

a²×a=

1

2

a3；
（2）由三視圖得到幾何體是直三棱柱，并且底面是等腰直角三角形，
所以A₁C₁⊥面BCC₁B₁，所以A₁C₁⊥B₁C，又四邊形BCC₁B₁為正方形，所以B₁C⊥BC₁，
所以AB₁C⊥平面A₁BC₁
（3）連AB₁，AC₁，由矩形性質(zhì)得：AB₁與A₁B交于點(diǎn)E，
在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得EF∥AC₁，
又因?yàn)镋F?平面AA₁C₁C，
所以EF∥平面AA₁C₁C．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平等的判定，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理，性質(zhì)定理、定義及幾何特征，建立良好的空間想像能力是解答本題的關(guān)鍵．