Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M為線段BF上一點，且DM⊥平面ACE．

（1）求BM的長；

（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根據DM⊥平面ACE，找出線線垂直，在平面四邊形EFBD中根據垂直關系求得線段長度；

（2）由題可知直線垂直于平面，故可過與中點作垂線，找到二面角的平面角，從而在三角形中求解角度的大小即可.

（1）記與的交點為，連接，如下圖所示：

因為平面，平面，

故，

又因為//，可以確定一個平面，故均在平面中；

因為四邊形是菱形，且，故可得；

故在矩形中：

因為，故可得，

又因為，，

故可得，故可得.

即.

（2）記與的交點為，連接，如下圖所示：

因為四邊形為菱形，故可得，

又因為平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF平面ABCD

且平面，，

故可得平面；

由（1）可知，故即為二面角A﹣DM﹣B的平面角；

在中，容易知，故

在中，又，解得；

在菱形中，容易知.

故在中，因為，，故由勾股定理可得，

故.

二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小為.