Question

（2011•廣安二模）已知f（x）是 R 上的偶函數(shù)，f（x+2）=-f（x），f（2）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）等于（　　）

A．0

B．2

C．-2

D．-4022

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x），可得函數(shù)的周期，然后利用周期性和奇偶性進(jìn)行求值．

解答：解：由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），所以函數(shù)的周期是4．
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）-f（2012）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]-f（2012）
∵f（x）是 R 上的偶函數(shù)，f（2）=-2，
∴f（0）=f（4）=-f（2）=2，
當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+2）=f（1）=-f（-1）=-f（1），
∴f（1）=0，即f（1）=f（1-4）=f（-3）=f（3）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=0-f（2012）=-f（0）=-2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，利用條件求出函數(shù)的周期是解決本題的關(guān)鍵．