Question

（2011•廣安二模）給出如下命題：
①函數g（x）=

x+2，x≤-1 0，-1＜x＜1 -x+2，x≥1

為偶函數；②函數f（x）=3sin（2x-

π

3

）的圖象關于點（

2

3

π，0）對稱；
③若m

a

=m

b

（m∈R），則有

a

=

b

④由y=3Sin2x的圖象向右平移

π

6

個單位長度可以得到圖象f（x）=3sin（2x-

π

3

）．
其中正確命題的序號為

（1）（2）（4）

（將你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：對于①g（x）判斷時，要注意從三種情況判斷，即從1°當-1≤x≤1時2°當x＜-1時3°當x＞1時判斷．
對于②，將x=

2

3

π代入到函數f（x）得到f（

2

3

π）=0，進而可知它是對稱中心，②正確；
對于③，若m=0不成立；
對于④，根據左加右減的原則進行平移可知將y=3sin2x的圖象左平移

π

6

得到得圖象是函數
f（x），故④正確．

解答：解：對于①又∵1°當-1≤x≤1時，-1≤-x≤1，
∴g（-x）=0．
又g（x）=0，∴g（-x）=g（x）．
2°當x＜-1時，-x＞1，
∴g（-x）=-（-x）+2=x+2．
又∵g（x）=x+2，∴g（-x）=g（x）．
3°當x＞1時，-x＜-1，
∴g（-x）=（-x）+2=-x+2．
又∵g（x）=-x+2，∴g（-x）=g（x）．
綜上，對任意x∈R都有g（-x）=g（x）．
∴g（x）為偶函數．正確；

2

3

π
②將x=

2

3

π代入到函數f（x）中得到f（

2

3

π）=3sin（2×

2

3

π-

π

3

）=0
函數f（x）=3sin（2x-

π

3

）的圖象關于點（

2

3

π，0）對稱，故②正確；
③若m=0不成立，故錯；
④由y=3Sin2x的圖象向右平移

π

6

個單位長度可以得到圖象f（x）=3sin[2（x-

π

6

）-

π

3

]．即f（x）=3sin（2x-

π

3

）．
故正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查了正弦函數的對稱性、單調性，以及函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基礎題．考查正弦函數的基本性質--對稱性、單調性的應用和三角函數的平移，三角函數的平移的原則是左加右減，上加下減．還考查函數奇偶性的判斷，要注意分段函數的判斷，分幾段就從幾個方面判斷．