Question

設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，進而求得B．
（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用兩角和公式化簡整理，進而根據A的范圍和正弦函數的性質求得cosA+sinC的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根據正弦定理得sinA=2sinBsinA，
所以sinB=

1

2

，
由△ABC為銳角三角形得B=

π

6

．
（Ⅱ）cosA+sinC=cosA+sin(π-

π

6

-A)=cosA+sin(

π

6

+A)=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin(A+

π

3

)．
由△ABC為銳角三角形知，0＜A＜

π

2

．

π

3

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin(A+

π

3

)＜ 

3

2

．
由此有

3

2

＜

3

sin(A+

π

3

)＜

3

2

×

3

=

3

2

，
所以，cosA+sinC的取值范圍為(

3

2

，

3

2

)．

點評：本題主要考查了正弦定理得應用和三角函數中兩角和公式的運用．涉及了正弦函數的性質，考查了學生對三角函數知識的把握．