Question

設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=

3

且

b

sinB

=2．
（1）求A的大小；
（2）求

a2+b2-c2

ab

+2cosB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理求得sinA的值，又△ABC為銳角三角形，故可求得角A的大小．
（2）應用余弦定理、兩角和差的三角函數把要求的式子化為2sin(

π

6

+B)，確定

π

6

+B的范圍，可得2sin(

π

6

+B)
的范圍，即得所求．

解答：解：（1）由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2，又a=

3

，∴sinA=

3

2

，又△ABC為銳角三角形，故A=

π

3

．
（2）

a2+b2-c2

ab

+2cosB=2cosC+2cosB=2cos(π-

π

3

-B)+2cosB=2cos(

2π

3

-B)+2cosB=-cosB+

3

sinB+2cosB=cosB+

3

sinB=2sin(

π

6

+B)．
由于△ABC為銳角三角形，故有

0＜B＜ π 2 0＜π- π 3 -B＜ π 2

，∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜

π

6

+B＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin(

π

6

+B)≤1，∴

3

＜2sin(

π

6

+B)≤2，
∴

a2+b2-c2

ab

+2cosB的取值范圍是(

3

，2]．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的應用，兩角和差的三角函數，正弦函數的定義域、值域，確定

π

6

+B的范圍是解題的關鍵
和難點．