Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1，n∈N）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

2n

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：Sn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-1，得a_n+1-1=2（a_n-1），從而可得{a_n-1}是以2為首項，2為公比的等比數列，由此可求數列的通項公式；
（2）利用裂項法求出數列的和，即可證得結論．

解答：（1）解：由a_n+1=2a_n-1，得a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=2，所以{a_n-1}是以2為首項，2為公比的等比數列
∴an-1=2n，即an=2n+1；
（2）證明：bn=

2n

anan+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴Sn=( 1 21+1 - 1 22+1 )+( 1 22+1 - 1 23+1 )+…+( 1 2n+1 - 1 2n+1+1 )

=

1

3

-

1

2n+1+1

∵

1

2n+1+1

＞0，
∴Sn＜

1

3

．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項與求和，屬于中檔題．