Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．

（1）求拋物線C的方程；

（2）記拋物線C的準線與x軸的交點為N，試問是否存在常數λ∈R，使得且都成立？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）存在，λ＝2或

【解析】

（1）由雙曲線方程求出焦點坐標，結合題意可得p＝2，即得拋物線方程；

（2）依題意設，聯立，消去，得．利用根與系數的關系結合，求得，再由求得的值，即可求得實數λ的值．

（1）由雙曲線，得，，

則，即雙曲線的焦點坐標為（﹣1，0），（1，0），

由拋物線C：y2＝2px（p＞0），且其焦點與雙曲線的一個焦點重合，

可得，p＝2．

∴拋物線方程為y2＝4x；

（2）依題意，F（1，0），設l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0．

∴，…①

且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，

又，則（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，

代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0），

|NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22

2

4t（y1+y2）+8，

＝（t2+1）（16t2+8）+4t4t+8＝16t4+40t2+16．

由16t4+40t2+16，解得或（舍），

∴，故λ＝2或．