Question

試構造一個函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函數又不是偶函數，則f（x）可以是________．

Answer 1

f（x）=．
分析：函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立?[f（-x）]²=[f（x）]²?[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0?f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；而f（x）既不是奇函數又不是偶函數，可構造分段函數滿足即可．
解答：∵函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，
∴[f（-x）]²=[f（x）]²，即[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0，
∴f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；
而f（x）既不是奇函數又不是偶函數，
故可令函數f（x）=．
點評：本題考查函數奇偶性的判斷，難點在于對“函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函數又不是偶函數”的理解與應用，考查深度思維，屬于中檔題．