Question

試構造一個函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函數又不是偶函數，則f（x）可以是

f（x）=

5          x=1 2     -1＜ x＜1 -5         x=-1

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Answer 1

分析：函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立?[f（-x）]²=[f（x）]²?[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0⇒f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；而f（x）既不是奇函數又不是偶函數，可構造分段函數滿足即可．

解答：解：∵函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，
∴[f（-x）]²=[f（x）]²，即[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0，
∴f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；
而f（x）既不是奇函數又不是偶函數，
故可令函數f（x）=

5          x=1 2     -1＜ x＜1 -5         x=-1

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點評：本題考查函數奇偶性的判斷，難點在于對“函數f（x），x∈D，使得對一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函數又不是偶函數”的理解與應用，考查深度思維，屬于中檔題．