Question

已知動點P到直線y=1的距離比它到點F（0，）的距離大．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l：y=m（x-3）對稱，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）轉化題中的條件，應用拋物線的定義求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）假設點P的軌跡上點A，B關于直線l對稱，利用中點在對稱軸上及斜率間的關系和判別式大于0，得到實數m的取值范圍，再把此范圍在實數集內取補集．
解答：解：：（Ⅰ）據題意可知，點P到直線y=-的距離等于它到點F（0，）的距離，
所以點P的軌跡是以點F（0，）為交點，直
線y=-為準線的拋物線．（3分）
因為p=，拋物線開口向上，故
點P的軌跡方程是x²=y．
（Ⅱ）若m=0，則直線l為x軸，
此時拋物線x²=y與直線l相切．
若m≠0，設與直線l垂直的直線為l′：y=-x+b，
代入y=x²，得x²+x-b=0（*）
設直線l′與拋物線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁=x₂=-，
從而y₁+y₂=-（x₁+x₂）+2b=+2b．
假設點A，B關于直線l對稱，
則AB的中點（，）在l上，
所以+b=m（-3），
即b=--3m-．
由于方程（*）有兩個不相等的實根，則△=+4b＞0．
所以+4（--3m-）＞0，
整理得12m³+2m²+1＜0，
即（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．
由6m²-2m+1=6+＞0恒成立，
所以2m+1＜0，
即m＜-．
所以當m＜-時，拋物線上存在兩點關于直線l對稱．
故當拋物線y=x²上不存在兩點關于直線l：y=m（x-3）對稱時，
實數m的取值范圍是[，+∞）．
點評：本題考查用定義法求軌跡方程，直線與拋物線的位置關系綜合應用，體現轉化的數學思想．