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已知動點P到直線y=1的距離比它到點F(0,
1
4
)的距離大
3
4

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l:y=m(x-3)對稱,求實數m的取值范圍.
:(Ⅰ)據題意可知,點P到直線y=-
1
4
的距離等于它到點F(0,
1
4
)的距離,
所以點P的軌跡是以點F(0,
1
4
)為交點,直
線y=-
1
4
為準線的拋物線.(3分)
因為p=
1
2
,拋物線開口向上,故
點P的軌跡方程是x2=y.
(Ⅱ)若m=0,則直線l為x軸,
此時拋物線x2=y與直線l相切.
若m≠0,設與直線l垂直的直線為l′:y=-
1
m
x+b,
代入y=x2,得x2+
1
m
x-b=0(*)
設直線l′與拋物線的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1=x2=-
1
m

從而y1+y2=-
1
m
(x1+x2)+2b=
1
m2
+2b.
假設點A,B關于直線l對稱,
則AB的中點(
x1+x2
2
y1+y2
2
)在l上,
所以
1
2m2
+b=m(
-1
2m
-3),
即b=-
1
2
-3m-
1
2m2

由于方程(*)有兩個不相等的實根,則△=(
1
m
)
2
+4b>0.
所以(
1
m
)
2
+4(-
1
2
-3m-
1
2m2
)>0,
整理得12m3+2m2+1<0,
即(2m+1)(6m2-2m+1)<0.
由6m2-2m+1=6(m-
1
6
)
2
+
5
6
>0恒成立,
所以2m+1<0,
即m<-
1
2

所以當m<-
1
2
時,拋物線上存在兩點關于直線l對稱.
故當拋物線y=x2上不存在兩點關于直線l:y=m(x-3)對稱時,
實數m的取值范圍是[
1
2
,+∞).
練習冊系列答案
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已知動點P到直線y=1的距離比它到點F(0,
1
4
)的距離大
3
4

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(Ⅱ)若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l:y=m(x-3)對稱,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知動點P到直線l:x=--
4
3
3
的距離d1,是到定點F(-
3
,0
)的距離d2
2
3
3
倍.
(1) 求動點P的軌跡方程;
(2) 若直線m:y=k(x+1)(k≠o)與點P的軌跡有兩個交點A、B,求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y0的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年湖南師大附中高三第八次月考數學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知動點P到直線y=1的距離比它到點F(0,)的距離大
(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l:y=m(x-3)對稱,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2010年高三備考數學好題系列(01)(解析版) 題型:解答題

已知動點P到直線y=1的距離比它到點F(0,)的距離大
(Ⅰ)求動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若點P的軌跡上不存在兩點關于直線l:y=m(x-3)對稱,求實數m的取值范圍.

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