Question

如圖所示，點A（p，o）（p＞0），點R在y軸上運動，點T在x軸上，N為動點，且．
（I）設動點N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（II）設P，Q是曲線C上的兩個動點，M（x，y）是曲線C上一定點，若，試證明直線PQ經過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）設N（x，y），由知R是TN的中點，則T（-x，0），R（0，），由，知，由此能求出點N的軌跡曲線C的方程．
（II）設，則，．由，得PM⊥QM，k_MP•k_MQ=-1，，由此能推導出直線PQ經過定點（x+4p，-y）．
解答：解：（I）設N（x，y），由知R是TN的中點，
則T（-x，0），R（0，），
∵，
∴，
整理，得y²=4px（p＞0）．
故點N的軌跡曲線C的方程是y²=4px（p＞0）．
（II）設，
則，
．
由，得PM⊥QM，
∴k_MP•k_MQ=-1，
∴，
從而（-1）（y+y₁）（y+y₂）=16p²．
∴（y₁+y₂）y+y₁y₂+y²+16p²=0．①
直線PQ的方程為，
即（y₁+y₂）y-y₁y₂-4px=0．
①可變為（y₁+y₂）（-y）-y₁y₂-4p（x+4p）=0，
∴直線PQ經過定點（x+4p，-y）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．