Question

如圖，正方體有8個頂點和12條棱，每條棱上均有一個中點，于是有棱的中點12個，頂點與中點合起來共有20個[圖(1)]．過其中的兩點可作一條直線；過其中不在同一直線上的三點可作一個平面．現在考慮這些直線與平面的垂直關系．

(1)試舉出一直線與一平面相互垂直的例子(不少于4例)．

(2)若一直線與一平面相互垂直，我們就說這條直線與這個平面構成了一個“垂直關系組”，兩個“垂直關系組”當且僅當其中兩條直線和兩個平面不全同一時稱為相異的(或不同的)．試求與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數．

Answer 1

答案：
解析：

答案：如圖． 　　(1)例如AB⊥平面BCKJ； 　　例如EF⊥平面MPON[如圖(1)]； 　　例如NF⊥平面ADKJ[如圖(2)]； 　　例如IC⊥平面AJL[如圖(3)]． 　　(2)正方體的棱有12條，而每一條棱都與3個平面垂直，如圖(1)中棱IJ與平面ID、平面NP及平面JC都垂直，所以與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數是12×3＝36． 　　思路解析：在正方體中，所有的棱都和與它相交的面垂直，利用中點也可產生與棱垂直的面．