Question

如圖，正方體有8個頂點和12條棱，每條棱上均有一個中點，于是有棱的中點12個，頂點與中點合起來共有20個〔圖 (1)〕.過其中的兩點可作一條直線；過其中不在同一直線上的三點可作一個平面.現在考慮這些直線與平面的垂直關系.

(1)試舉出一直線與一平面相互垂直的例子(不少于4例)；

(2)若一直線與一平面相互垂直，我們就說這條直線與這個平面構成了一個“垂直關系組”，兩個“垂直關系組”當且僅當其中兩條直線和兩個平面不全同一時稱為相異的(或不同的).試求與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數.

Answer 1

思路解析：

在正方體中，所有的棱都和與它相交的面垂直，利用中點也可產生與棱垂直的面.

解：如圖.

             (1)　　　　　          　　　　(2)　　　　     　　　　　(3)

(1)例如AB⊥平面BCKJ；

例如EF⊥平面MPON〔如圖(1)〕；

例如NF⊥平面ADKJ〔如圖(2)〕；

例如IC⊥平面AJL〔如圖(3)〕.

(2)正方體的棱有12條，而每一條棱都與3個平面垂直，如圖(1)中棱IJ與平面ID、平面NP及平面JC都垂直，所以與正方體的棱相關的“垂直關系組”的個數是12×3＝36.