Question

設a，b，c均為正數，且a+b+c=12，則

1

a

+

9

b

+

25

c

的最小值為

27

4

．

Answer 1

分析：利用條件a+b+c=12，構造柯西不等式（1+3+5）²≤（a+b+c）（

1

a

+

9

b

+

25

c

）進行解題即可．

解答：解：由柯西不等式得（1+3+5）²≤（a+b+c）（

1

a

+

9

b

+

25

c

），
∵a+b+c=12，
∴（1+3+5）²≤12（

1

a

+

9

b

+

25

c

），
∴

1

a

+

9

b

+

25

c

≥

27

4

，
當且僅當

1 a

a

=

9 b

b

=

25 c

c

取等號，
則

1

a

+

9

b

+

25

c

的最小值為

27

4

．
故答案為：

27

4

．

點評：本題主要考查了函數的值域，以及柯西不等式的應用，解題的關鍵是利用（1+3+5）²≤（a+b+c）（

1

a

+

9

b

+

25

c

）進行解題，屬于中檔題．