Question

無窮等比數列{a_n}的各項和為

3

4

，則其首項a₁的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：依題意知|q|＜1且q≠0，由

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

和題意，求出公比q的表達式，再由公比的范圍列出不等式組，可求得a₁的取值范圍．

解答： 解：依題意知，等比數列的公比滿足|q|＜1且q≠0，
所以S_n=

a1(1-qn)

1-q

，則

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，
所以

a1

1-q

=

3

4

，解得q=1-

4a1

3

，
所以

-1＜1- 4a1 3 ＜1 1- 4a1 3 ≠0

，解得a₁∈(0，

3

4

)∪(

3

4

，

3

2

)，
故答案為：(0，

3

4

)∪(

3

4

，

3

2

)．

點評：本題考查數列的求和與數列的極限，求得q是解題的關鍵，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．