Question

（2012•九江一模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-1（n∈N₊）
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

(n∈N+)，數列{b_n}的前n項和T_n，求證：

1

3

≤T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根據數列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求得數列的通項；
（2）確定數列的通項，利用疊加法求和，證明是遞增數列，即可證得結論．

解答：（1）解：當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），∴a_n=2a_n-1
∴數列{a_n}是首項為a₁=1，公比為2的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1；
（2）證明：b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]=2（

1

2

-

1

2n+1

）＜1
∵T_n+1-T_n=b_n+1=

2n+1

(2n+1)(2n-1+1)

＞0
∴數列{T_n}是遞增數列
∵T₁=

1

3

∴

1

3

≤T_n＜1

點評：本題考查數列的通項，考查數列的求和，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定數列的通項，屬于中檔題．