Question

已知函數：f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45^o，是否存在實數m使得對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[]在區間（t，3）上總不是單調函數？若存在，求m的取值范圍；否則，說明理由；
（Ⅲ）求證：（n≥2，n∈N*）．

Answer 1

（I）解：  ，
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調函數
（II）解：f′（2）=﹣=1得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴g（x）=x³+（+2）x²﹣2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x﹣2
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=﹣2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0  
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有，
∴存在﹣＜m＜﹣9
（Ⅲ）證明：令a=﹣1此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（I）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
（n≥2，n∈N*）。