Question

某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是

30+6

5

．

Answer 1

分析：根據三視圖，可得該三棱錐為如圖的三棱錐A-BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且側面ABC與底面ABC互相垂直，由此結合題中的數據結合和正余弦定理，不難算出該三棱錐的表面積．

解答：解：根據題意，還原出如圖的三棱錐A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
側面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
側面△ACD中，AC=

AE2+CE2

=5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，結合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，結合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=

22+42

=2

5

，BD=

52+42

=

41

，AD=

52+42

=

41

，
∴cos∠ADB=

41+41-20

2× 41 × 41

=

31

41

，得sin∠ADB=

1-( 31 41 )2

=

12 5

41

由三角形面積公式，得S_△ADB=

1

2

×

41

×

41

×

12 5

41

=6

5

又∵S_△ACB=

1

2

×5×4=10，S_△ADC=S_△CBD=

1

2

×4×5=10
∴三棱錐的表面積是S_表=S_△ADB+S_△ADC+S_△CBD+S_△ACB=30+6

5

故答案為：30+6

5

點評：本題給出三棱錐的三視圖，求該三棱錐的表面積，著重考查了三視圖的理解、線面垂直與面面垂直的判定與性質和利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．