Question

已知f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n時，有

f(m)-f(n)

m-n

＞0
（1）若滿足f（x+

1

2

）+f（x-1）＜0，求x的取值范圍
（2）若f（x）≤t²-2at+1對任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先用定義判斷f（x）在[-1，1]上的單調性，由函數的單調性、奇偶性可去掉不等式中的符號“f”，解出即可；
（2）對任意的x∈[-1，1]不等式恒成立，等價于f（x）_max=f（1））≤t²-2at+1，對任意a∈[-1，1]恒成立，可看作關于a的一次函數，借助圖象可得關于a的不等式組，解出即可；

解答：解：（1）∵f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，
m、n∈[-1，1]，m≠n時，有

f(m)-f(n)

m-n

＞0．
∴任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂≥x₁，
則f（x₂）-f（x₁）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

•(x2-x1)＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數f（x）在[-1，1]上單調遞增．
∵f（x+

1

2

）+f（x-1）＜0，即f（x+

1

2

）＜f（1-x），
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤x-1≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，解得0≤x≤

1

4

，
∴x的取值范圍為[0，

1

4

）．
（2）由于f（x）為增函數，∴f（x）的最大值為f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1對a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at+1≥1對任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立，
把y=t²-2at看作a的函數，
由a∈[-1，1]，知其圖象是一條線段，
∴t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立，
∴有

t2-2×(-1)×t≥0 t2-2×1×t≥0

，即

t2+2t≥0 t2-2t≥0

，
解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
故實數t的取值范圍是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．

點評：本題考查函數的單調性的判斷，考查不等式解集的求法，考查轉化思想、數形結合思想．解題時要認真審題，注意定義法、等價轉化思想、構造法的合理運用