Question

已知函數f(x)=ax²+2x，g(x)=lnx，
(1)如果函數y=f(x)在[1，+∞)上是單調增函數，求a的取值范圍；
(2)是否存在實數a＞0，使得方程=f′(x)-(2a+1)在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)當a=0時，f(x)=2x在[1，+∞)上是單調增函數，符合題意；
當a＞0時，y=f(x)的對稱軸方程為，
由于y=f(x)在[1，+∞)上是單調增函數，
所以，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0；
當a＜0時，不符合題意；
綜上，a的取值范圍是a≥0．
(2)把方程整理為，
即為方程，
設，
原方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根，即為函數H(x)在區間內有且只有兩個零點，
，
令H′(x)=0，因為a＞0，解得x=1或(舍)，
當x∈(0，1)時，H′(x)＜0，H(x)是減函數；
當x∈(1，+∞)時，H′(x)＞0，H(x)是增函數．
H(x)在內有且只有兩個不相等的零點，
只需。