Question

如圖，P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的動點，F₁、F₂是雙曲線的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上的一點，且

F2M

•

MP

=0．有一同學用以下方法研究|OM|：延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂N的中點，得|OM|=

1

2

|NF1|=…=a．類似地：P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的動點，F₁、F₂是橢圓的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上的一點，且

F2M

•

MP

=0．則|OM|的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  a2-b2

  ]
• B．[0，

  a2+b2

  ]
• C．(0，

  a2+b2

  )
• D．(0，

  a2-b2

  )

Answer 1

分析：橢圓與雙曲線都是平面上到定點和定直線距離之比為定值的動點的軌跡，故它們的研究方法、性質都有相似之處，我們由題目中根據雙曲線的性質，探究|OM|值方法，類比橢圓的性質，推斷出橢圓中|OM|的取值范圍．

解答：解：延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂M的中點，
則|OM|=

1

2

|NF₁|=a-|F₂M|
∵a-c＜|F₂M|＜a
∴0＜|OM|＜c=

a2-b2

∴|OM|的取值范圍是(0，

a2-b2

)
故選D．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．