Question

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C₁：

x2

2

-y2=1，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C₁，C₂都有公共點(diǎn)，則稱P為“C₁-C₂型點(diǎn)”
（1）在正確證明C₁的左焦點(diǎn)是“C₁-C₂型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”；
（3）求證：圓x²+y²=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁-C₂型點(diǎn)”

Answer 1

分析：（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點(diǎn)為（-

3

，0），當(dāng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)滿足左焦點(diǎn)是“C₁-C₂型點(diǎn)”，當(dāng)斜率存在時(shí)，要保證斜率的絕對(duì)值大于等于該焦點(diǎn)與（0，1）連線的斜率；
（2）由直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|＞1，分過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說(shuō)明過(guò)遠(yuǎn)點(diǎn)的直線不可能同時(shí)與C₁和C₂有公共點(diǎn)；
（3）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=-x±1之間，進(jìn)而說(shuō)明當(dāng)|k|≤1時(shí)過(guò)圓x2+y2=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C₂無(wú)公共點(diǎn)，當(dāng)|k|＞1時(shí)，過(guò)圓x2+y2=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C₂有公共點(diǎn)，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結(jié)果與|k|＞1矛盾．從而證明了結(jié)論．

解答：（1）解：C₁的左焦點(diǎn)為（-

3

，0），寫出的直線方程可以是以下形式：
x=-

3

或y=k(x+

3

)，其中|k|≥

3

3

．
（2）證明：因?yàn)橹本�y=kx與C₂有公共點(diǎn)，
所以方程組

y=kx |y|=|x|+1

有實(shí)數(shù)解，因此|kx|=|x|+1，得|k|=

|x|+1

|x|

＞1．
若原點(diǎn)是“C₁-C₂型點(diǎn)”，則存在過(guò)原點(diǎn)的直線與C₁、C₂都有公共點(diǎn)．
考慮過(guò)原點(diǎn)與C₂有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．
顯然直線x=0與C₁無(wú)公共點(diǎn)．
如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組

y=kx x2 2 -y2=1

，得x2=

2

1-2k2

＜0，矛盾．
所以直線y=kx（|k|＞1）與C₁也無(wú)公共點(diǎn)．
因此原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”．
（3）證明：記圓O：x2+y2=

1

2

，取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q，設(shè)有經(jīng)過(guò)Q的直線l與C₁，C₂都有公共點(diǎn)，顯然l不與x軸垂直，
故可設(shè)l：y=kx+b．
若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間，
從而過(guò)Q且以k為斜率的直線l與C₂無(wú)公共點(diǎn)，矛盾，所以|k|＞1．
因?yàn)閘與C₁由公共點(diǎn)，所以方程組

y=kx+b x2 2 +y2=1

有實(shí)數(shù)解，
得（1-2k²）x²-4kbx-2b²-2=0．
因?yàn)閨k|＞1，所以1-2k²≠0，
因此△=（4kb）²-4（1-2k²）（-2b²-2）=8（b²+1-2k²）≥0，
即b²≥2k²-1．
因?yàn)閳AO的圓心（0，0）到直線l的距離d=

|b|

1+k2

，
所以

b2

1+k2

=d2＜

1

2

，從而

1+k2

2

＞b2≥2k2-1，得k²＜1，與|k|＞1矛盾．
因此，圓x2+y2=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．