Question

在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，求證：a²＋ac＝b²．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：由B＝2A，得sinB＝sin2A，即sinB＝2sinAcosA，∴cosA＝． 　　由正弦定理，cosA＝；又由余弦定理，有＝， 　　即ab2＋ac2－a3－b2c＝0．因此，b2(a－c)－a(a2－c2)＝0，即(a－c)[b2－a(a＋c)]＝0． 　　若a≠c，有b2－a(a＋c)＝0，則a2＋ac＝b2． 　　若a＝c，則A＝C，A∶B∶C＝1∶2∶1， 　　∴B＝90°．則此時△ABC為等腰直角三角形，仍有b2＝a2＋ac． 　　證法二：由B＝2A，得C＝π－(A＋B)＝π－3A． 　　由正弦定理，得a2＋ac＝4R2sin2A＋2RsinA－2RsinC 　　＝4R2[sin2A＋sinA·sin(π－3A)]＝4R2sinA(sinA＋sin3A) 　　＝4R2sinA·2sin2AcosA＝4R2sin22A＝4R2sin2B＝b2．