Question

有人預測：在2010年的廣州亞運會上，排球比賽的決賽將在中國隊與日本隊之間展開，據以往統計，中國隊在每局比賽中勝日本隊的概率為

2

3

，比賽采取五局三勝制，即誰先勝三局誰就獲勝，并停止比賽．
（1）求中國隊以3：1獲勝的概率．
（2）設ξ表示比賽的局數，求ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題的比賽，每一局之間都是不影響的，且中國隊獲勝的概率都相同，符合獨立重復試驗，根據獨立重復試驗的概率公式寫出中國隊乙三比一獲勝的概率．即前三場中國隊勝兩場，且第四場一定勝．
（2）ξ表示比賽的局數，則ξ的所有可能取值為3，4，5．結合變量對應的事件和第一問的分析寫出變量的概率，當變量等于5時，可以用1減去前兩個變量的概率得到結果，寫出分布列，做出數學期望．

解答：解：（1）由題意知本題的比賽，每一局之間都是不影響的，
且中國隊獲勝的概率都相同，符合獨立重復試驗，
設“中國隊以3：1獲勝”為事件A，
則事件A表示“前3局中國隊恰好勝2局，然后第4局勝”，
∴P(A)=

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

．
（2）ξ的所有可能取值為3，4，5．
P(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

；
P(ξ=4)=P(A)+

C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

×

1

3

=

10

27

；
P（ξ=5）=1-P（ξ=3）-P（ξ=4）=

8

27

．
∴ξ的分布列為：

∴ξ的數學期望為Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點評：本題考查獨立重復試驗，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查利用概率知識解決實際問題的能力，是一個綜合題目，這種題目可以作為理科的一道解答題目出現．