Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有極值，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先求導(dǎo)，得，然后對(duì)分成兩類進(jìn)行分類討論，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）當(dāng)時(shí)，由（I）可知，為函數(shù)的最小值點(diǎn)，分成與兩類，討論的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ），

（1） 若，則在區(qū)間上，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有極值點(diǎn).

（2）若，令，即，解得，

故在區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞減；

在區(qū)間內(nèi),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為,當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值為.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）可知，為函數(shù)的最小值點(diǎn)

因?yàn)?/span>，若函數(shù)在區(qū)間上上存在唯一零點(diǎn)，

則當(dāng)零點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)時(shí)：

，得.

當(dāng)零點(diǎn)在極小值點(diǎn)左側(cè)時(shí)：，得.

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上上存在唯一零點(diǎn)，

則.