Question

（2012•廣安二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，點D，E，F分別是AC，AB，BC的中點．
（1）求證：EF⊥PD；
（2）求直線PF與平面PBD所成的角的大小；
（3）求二面角E-PF-B的大小．

Answer 1

分析：（1）連接BD，證明PB⊥平面ABC，從而PD⊥AC，根據E、F分別為AB、BC的中點，可得EF∥AC，從而可得EF⊥PD；
（2）因為面PBD⊥面ABC，故只需過F作BD的垂線，因為EF⊥BD，交點為O，則∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角，求解即可；
（3）過B作BM⊥PF于點M，連接EM，證明∠EMB為二面角E-PF-B的平面角，再在直角△PBF中，可求二面角E-PF-B的正切值，從而可得結論．

解答：（1）證明：連接BD
在△ABC中，∠ABC=90°
∵AB=BC，點D為AC的中點，∴BD⊥AC
∵PB⊥平面ABC，∴BD為PD在平面ABC內的射影
∴PD⊥AC
∵E、F分別為AB、BC的中點，∴EF∥AC
∴EF⊥PD；
（2）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．
連接BD交EF于點O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，
∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角，EF⊥PO．
∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，
∴PB=AB=2．
在Rt△FPO中，OF=

1

4

AC=

2

2

，PF=

PB2+BF2

=

5

∴sin∠FPO=

OF

PF

=

10

10

∴直線PF與平面PBD所成的角為arcsin

10

10

；
（3）過點B作BM⊥PF于點F，連接EM，
∵AB⊥PB，AB⊥BC，
∴AB⊥平面PBC，即BM為EM在平面PBC內的射影，
∴EM⊥PF，
∴∠EMB為二面角E-PF-B的平面角．
∵Rt△PBF中，BM=

PB•BF

PF

=

2

5

∴tan∠EMB=

EB

BM

=

5

2

∴二面角E-PF-B的大小為arctan

5

2

．

點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查線面角，面面角，解題的關鍵是正確運用線面垂直的判斷，正確作出線面角，面面角．