Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的零點；
（3）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的定義域及其求法,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數成立的條件即可求函數f（x）的定義域；
（2）根據函數零點的定義即可求函數f（x）的零點；
（3）根據對數不等式的解法即可解不等式f（x）＞0．

解答： 解：（1）要使函數有意義，則

1+x＞0 1-x＞0

．
解得：-1＜x＜1．
即f（x）的為定義域（-1，1）．
（2）令f（x）=0得，log_a（1-x）-log_a（1+x）=0，
∴1-x=1+x，解得x=0．
故函數的零點為0．
（3）由f（x）＞0，得log_a（1+x）＞log_a（1-x），
∴0＜a＜1時，0＜x+1＜1-x，解得：-1＜x＜0，
當a＞1時，x+1＞1-x＞0，解得：0＜x＜1，
即0＜a＜1時，f（x）＞0的解集為（-1，0）a＞1時，f（x）＞0的解集為（0，1）．

點評：本題主要考查對數函數性質的綜合考查，根據對數函數的單調性是解決本題的關鍵．注意要對a進行分類討論．