Question

已知各項均不為零的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=c，2S_n=a_na_n+1+r．
（1）若r=-6，數列{a_n}能否成為等差數列？若能，求c滿足的條件；若不能，請說明理由．
（2）設P_n=，Q_n=，若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1時，2a₁=a₁a₂+r，由a₁=c，知．n≥2時，由2S_n=a_na_n+1+r，2S_n-1=a_n-1a_n+r，得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）．所以a_n+1-a_n-1=2．由此能夠導出當且僅當c=3時，數列{a_n}為等差數列．
（2）由a_2n-1-a_2n=[a₁+2（n-1）]-[a₂+2（n-1）]=a₁-a₂=c+-2．知a_2n-a_2n+1=[a₂+2（n-1）]-（a₁+2n）=a₂-a₁-2=-（c+）．所以•n•（n+c-1）+=+．由此能夠推導出對于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．
解答：（1）解：n=1時，2a₁=a₁a₂+r，
∵a₁=c≠0，
∴2c=ca₂+r，．  （1分）
n≥2時，2S_n=a_na_n+1+r，①
2S_n-1=a_n-1a_n+r，②
①-②，得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）．
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2． （ 3分）
則a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…成公差為2的等差數列，
a_2n-1=a₁+2（n-1）．
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成公差為2的等差數列，
a_2n=a₂+2（n-1）．
要使{a_n}為等差數列，當且僅當a₂-a₁=1．
即．r=c-c²．  （ 4分）
∵r=-6，∴c²-c-6=0，c=-2或3．
∵當c=-2，a₃=0，不合題意，舍去．
∴當且僅當c=3時，數列{a_n}為等差數列． （5分）
（2）證明：a_2n-1-a_2n=[a₁+2（n-1）]-[a₂+2（n-1）]=a₁-a₂=c+-2．
a_2n-a_2n+1=[a₂+2（n-1）]-（a₁+2n）=a₂-a₁-2=-（c+）． （8分）
∴
=．（9分）

=-．（10分）
∴•n•（n+c-1）+
=+．（11分）
∵r＞c＞4，
∴＞4，
∴＞2．
∴0＜＜＜1． （13分）
且=＞-1．  （14分）
又∵r＞c＞4，
∴，
則0＜．．
∴＜1．
∴．
∴＜1．（15分）
∴對于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．（16分）
點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，計算繁瑣，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意培養計算能力．