Question

已知各項均不為零的數列{a_n}，定義向量

cn

=(an，an+1)，

bn

=(n，n+1)，n∈N^*．下列命題中真命題是（　　）

• A、若?n∈N^*總有

  cn

  ∥

  bn

  成立，則數列{a_n}是等差數列
• B、若?n∈N^*總有

  cn

  ∥

  bn

  成立，則數列{a_n}是等比數列
• C、若?n∈N^*總有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，則數列{a_n}是等差數列
• D、若?n∈N^*總有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，則數列{a_n}是等比數列

Answer 1

分析：由題意根據向量平行、垂直的坐標表示可得a_n，從而可進行判斷．

解答：解：由

Cn

∥

bn

可得，na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

n+1

=

an

n

，于是

an+1

an

=

n+1

n

，
則a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…

a2

a1

•a₁=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…

2

1

•a₁=na₁，數列{a_n}為等差數列，
故A正確，B錯誤；
若

cn

⊥

bn

，則有na_n+（n+1）a_n+1=0，分析可得

an+1

an

=-

n

n+1

，
則a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…

a2

a1

•a₁，
分析易得此時數列{a_n}既不是等差數列，也不是等比數列，C、D均錯誤；
故選A．

點評：本題主要考查了向量平行的坐標表示，等差及等比數列的判斷，屬于基礎試題．