Question

已知函數f（x）=e^x-x²-ax．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）在[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）如果函數f（x）恰有兩個不同的極值點x₁，x₂，x₁＜x₂．①證明：x₁＜In2；②求f（x₁）的最小值，并指出此時a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導函數f′（x），根據a＜0，可以確定當x∈[-2，0]時，f（x）為單調遞增函數，從而得到求f（x）在[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）對函數f（x）求導，根據題意可得x₁，x₂是f′（x）=0的根，
①令h（x）=e^x-2x-a，求導判斷函數的單調性，從而得到函數h（x）在x=ln2時取得極小值，從而證得x₁＜ln2；
②根據題意可知，x₁是h′（x）=0的根，利用參變量分離，可得a=ex1-2x1，從而得到f（x₁）的表達式，利用導數，判斷出單調性，即可求得函數f（x₁）的最小值，從而求得a的值．

解答：解：（I）∵函數f（x）=e^x-x²-ax，
∴f'（x）=e^x-2x-a（a＜0），
∵當x∈[-2，0]時，f'（x）＞0，
∴f （x）在[-2，0]上是單調遞增函數，
∴f（x）_max=f（0）=1，
∴若a＜0，求f（x）在[-2，0]上的最大值為1；
（II）∵函數f（x）恰有兩個不同的極值點x₁，x₂，
∴方程e^x-2x-a=0有兩個不同的零點x₁，x₂，
令h（x）=e^x-2x-a，
①證明：∵h（x）=e^x-2x-a，
∴h'（x）=e^x-2，
當x＜ln2時，h'（x）＜0，則h（x）在（-∞，ln2）上是單調第減函數，
當x＞ln2時，h'（x）＞0，則h（x）在（ln2，+∞）上是單調遞增函數，
∴h（x）在x=ln2時取得極小值，即最小值，
∴x₁＜ln2；
②∵x₁是f（x）的極值點，
∴h（x₁）=0，即ex1-2x1-a=0，
∴a=ex1-2x1，
∴f(x1)=ex1-

x

2 1

-(ex1-2x1)•x1=(1-x1)ex1+

x

2 1

，
∴f′(x1)=x1(2-ex1)，
由①可知，x₁＜ln2，
∴2-ex1＞0，
∴當x₁＜0時，f'（x₁）＜0，則f（x₁）在（-∞，0）上是單調遞減函數，
當0≤x₁＜ln2時，f'（x₂）＞0，則f（x₁）在（0，+∞）上是單調遞增函數，
∴f （x₁）在（-∞，ln2）上的極小值為f（0）=1，即最小值，
∴當x=0時，f （x₁）在（-∞，ln2）上取得最小值，
∵a=ex1-2x1，
∴a=e⁰-2×0=1，
故f（x₁）的最小值為1，此時a的值為1．

點評：本題考查了利用導數研究函數在閉區間上的最值，一般是求出導函數對應方程的根，然后求出跟對應的函數值，區間端點的函數值，然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值．同時考查了利用導數研究函數的極值，求函數極值的步驟是：先求導函數，令導函數等于0，求出方程的根，確定函數在方程的根左右的單調性，根據極值的定義，確定極值點和極值．過程中要注意運用導數確定函數的單調性，一般導數的正負對應著函數的單調性．