Question

（2010•衢州一模）已知P（-4，-4），點Q是離心率為

2

2

且焦點在x軸上的橢圓x²+my²=16上的動點，M是線段PQ上的點，且滿足

PM

=

1

3

MQ

，則動點M的軌跡方程是

（x+3）²+2（y+3）²=1

．

Answer 1

分析：先確定橢圓的方程，再確定M，Q坐標之間的關系，利用橢圓的方程，即可得出結論．

解答：解：∵橢圓焦點在x軸上的x²+my²=16的離心率為

2

2

，
∴

16- 16 m

16

=

1

2

∴m=2
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

8

=1
設M（x，y），Q（a，b），則
∵

PM

=

1

3

MQ

，P（-4，-4），
∴(x+4，y+4)=

1

3

(a-x，b-y)
∴a=4x+12，b=4y+12
∵

a2

16

+

b2

8

=1
∴

(4x+12)2

16

+

(4y+12)2

8

=1
∴（x+3）²+2（y+3）²=1．
故答案為：（x+3）²+2（y+3）²=1

點評：本題考查軌跡方程，考查橢圓方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．