Question

已知函數f（x）=px³+qx²+2在x=2處取得極小值-2．
（1）設T（x）=f（x）+m，若T（x）有三個零點，求實數m的范圍；
（2）是否存在實數k，當a+b≤2時，使得函數g(x)=

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f′(x)+k在定義域[a，b]上值域為[a，b]（a≠b），若存在，求k的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由于f（x）=px³+qx²+2在x=2處取得極小值-2．則f（2）=-2，f′（2）=0，由此能求出f（x）的解析式．
（1）由于T（x）有三個零點，則極大值大于0且極小值小于0，繼而得到實數m的范圍；
（2）分類討論，然后利用導數來研究函數f（x）的單調性，得出其單調區間后，分別討論它在各區間上的值域，對照題意可得符合條件的實數k的取值范圍．

解答：解：由于f（x）=px³+qx²+2在x=2處取得極小值-2．則f（2）=-2，f′（2）=0，
則

12p+4q=0 8p+4q+2=-2

，解得

p=1 q=-3

，
故f（x）=x³-3x²+2，
（1）由于T（x）=f（x）+m，則T′（x）=f′（x）=3x（x-2）
令T′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，令T′（x）＜0，解得0＜x＜2，
則得函數極大值為T（0）=2+m，極小值為T（2）=-2+m，
由于T（x）有三個零點，則

2+m＞0 2-m＜0

，得m∈（-2，2）；
（2）假設存在這樣的實數k，
顯然g（x）=x²-2x+k，對稱軸x=1，
當a＜b≤1時，g（x）遞減，

g(a)=a2-2a+k=b     ① g(b)=a2-2b+k=a     ②

由①-②得a+b=1，滿足范圍，且分別以b=1-a和a=1-b代入①、②得：

k=-a2+a+1 k=-b2+b+1

，即k=-x²+x+1在[1，+∞）上有兩解，可得k∈[1，

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)
當a≤1＜b時，顯然g_min（x）=g（1）=k-1=a，
又

a+b

2

≤1，所以gmax(x)=g(a)=a2-2a+k=b
得b²=a²-2a+k=a²-a+1，又1＜b≤2-a，所以a∈[-1，0），
所以k∈[0，1]
當1≤a＜b時，顯然不符合a+b=2，舍；
綜上：k∈[0，

5

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]

點評：本題考查利用導數求閉區間上的函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．