Question

（2012•河北模擬）已知函數f（x）=alnx-bx²的圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）-mx，m∈R，如果g（x）的圖象與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），AB中點為C（x₀，0），求證：g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要利用導數的幾何意義即可獲得兩個方程解得兩個未知數；
（Ⅱ）用反證法現將問題轉化為有關方程根的形式，在通過研究函數的單調性進而通過最值性找到矛盾即可獲得解答．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-2bx，f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x²-mx，g′（x）=

2

x

-2x-m．
假設結論成立，則有：

2lnx1-x12-mx1=0 ① 2lnx2-x22-mx2=0 ② x1+x2=x0        ③ 2 x0 -2x0-m=0        ④

①-②，得2ln

x1

x2

-(x12-x22)-m(x1-x2)=0．
∴m=2

ln x1 x2

x1-x2

-2x0．
由④得m=

2

x0

-2x0，
∴

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

．⑤
令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
則u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函數，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，與假設矛盾．
∴g′（x₀）≠0．

點評：本題考查的是函數與方程以及導數知識的綜合應用問題．在解答的過程當中充分體現了函數與方程的思想、數形結合的思想、問題轉化的思想以及反證法．值得同學們體會反思．