Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1和函數g(x)=

bx-1

a2x+2b

，方程g（x）=x有兩個不等非零實根x₁、x₂（x₁＜x₂）．
（1）證明函數f（x）在（-1，1）上是單調函數；
（2）若方程f（x）=0的兩實根為x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）方程g（x）=x有兩個不等非零實根，說明方程a²x²+bx+1=0（*）有不等實根，由△=b²-4a²＞0，可得函數f（x）的對稱軸的范圍，進而根據二次函數的圖象證明函數f（x）在（-1，1）上是單調函數
（2）先計算f（x₁）、f（x₂），再利用二次函數的圖象，要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

，解不等式即可

解答：解：（1）由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x⇒方程a²x²+bx+1=0（*）有不等實根∴△=b²-4a²＞0及a≠0，⇒|

b

2a

|＞1，即-

b

2a

＜-1，或-

b

2a

＞1
又f（x）的對稱軸x=-

b

2a

∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是單調函數                               
（2）因x₁、x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0∴bx₁=-a²x₁²-1
同理bx₂=-a²x₂²-1∴f（x₁）=ax₁²+b₁x₁+1=ax₁²-a²x₁²+1=（a-a²）x₁²，同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

⇒

a＞0 a-a2＜0

⇒a＞1
或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

⇒

a＜0 a-a2＞0

⇒?
故a的取值范圍a＞1

點評：本題考查了二次函數的圖象和性質，解題時要熟記二次函數圖象，能運用分類討論的思想，數形結合解決問題