Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，給出以下論斷：
①tanA-cotB=1         ②0＜sinA+sinB≤

2

③sin²A+cos²B=1    ④cos²A+cos²B=sin²C
其中正確的是：

②④

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數的基本關系和二倍角公式化簡整理題設等式求得cos

A+B

2

=

2

2

進而求得A+B=90°，進而求得
tanA-cotB=tanA-tanA=0，可得①不正確；②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數的性質求得其范圍符合，得②正確；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函數的基本關系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，進而根據C=90°可知sinC=1，進而可知二者相等，得④正確．

解答：解：∵tan

A+B

2

=sinC，∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

，
整理求得cos

A+B

2

=

2

2

，∴A+B=90°．
∴tanA-cotB=tanA-tanA=0，不等于1，故①不正確．
由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°），
 45°＜A+45°＜135°，故有

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴0＜sinA+sinB≤

2

，所以②正確．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A，不一定等于1，故③不正確．
∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C，所以④正確．
故答案為②④．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力，屬于中檔題．